GEOMETRIA RIEMANNIANA

Crediti: 
6
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

italiano

Obiettivi formativi

L'obbiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base della geometria Riemanniana con particolare interesse alle relazioni che esistono fra teoria locale e teoria globale.

Prerequisiti

Geometria Differenziale

Contenuti dell'insegnamento

Geometria Riemanniana

Programma esteso

Metrica Riemanniana, distanza Riemanniana, gruppo di isometrie, azioni propriamente discontinue, sommersioni Riemanniane, integrale e forma volume

Connessione affine e connessione di Levi-Cività, trasporto parallelo, geodetiche, prima formula di variazione, lemma di Gauss, intorni convessi.

Curvatura, curvatura sezionale, curvatura di ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner

Campi di Jacobi, punti coniugati, immersioni Riemanniane, punti focali.

Teorema di Hopf-Rinof, Teorema di Hadamard.

Varietà con curvatura sezionale costante, Teorema di Cartan, classificazione delle varietà complete con curvatura sezionale costante.

Varietà omogenee, formule di O'Neil, cenni sugli spazi simmetrici

Seconda formula di variazione, Teorema di Bonnet-Meyer, Teorema di Weinstein-Synge.

Lemma dell'indice (focale), Teorema di comparazione di Rauch, Teorema di comparazione di Berger-Rauch e corollari.

Teorema dell'indice di Morse, punti di taglio.

Esistenza di geodetiche chiuse, Teorema di Preissmann.

Bibliografia

Manfredo do carmo, Riemannian Geometry, Birkauser

Cheeger-Ebin ''Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland

Chavel, Riemannian Geometry: A modern introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1984.

Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs vol. 149.

Metodi didattici

lezioni

Modalità verifica apprendimento

Esame orale