GEOMETRIA RIEMANNIANA

Docenti: 
BILIOTTI Leonardo
Codice dell'insegnamento: 
10165*4979*2016*2016*9999
Crediti: 
6
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

italiano

Lingua dell'insegnamento: 

ITALIANO

Obiettivi formativi

L'obbiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base della geometria Riemanniana con particolare interesse alle relazioni che esistono fra teoria locale e teoria globale.

L'obbiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli aspetti geometrici delle azioni isometriche ed una introduzione alla geometria simplettica e mappa momento mediante lezioni frontali.

Prerequisiti

Geometria Differenziale

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Contenuti dell'insegnamento

Geometria Riemanniana

GRUPPI DI LIE, AZIONI DI GRUPPI SU VARIETA' E MAPPA MOMENTO

Programma esteso

Metrica Riemanniana, distanza Riemanniana, gruppo di isometrie, azioni propriamente discontinue, sommersioni Riemanniane, integrale e forma volume

Connessione affine e connessione di Levi-Cività, trasporto parallelo, geodetiche, prima formula di variazione, lemma di Gauss, intorni convessi.

Curvatura, curvatura sezionale, curvatura di ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner

Campi di Jacobi, punti coniugati, immersioni Riemanniane, punti focali.

Teorema di Hopf-Rinof, Teorema di Hadamard.

Varietà con curvatura sezionale costante, Teorema di Cartan, classificazione delle varietà complete con curvatura sezionale costante.

Varietà omogenee, formule di O'Neil, cenni sugli spazi simmetrici

Seconda formula di variazione, Teorema di Bonnet-Meyer, Teorema di Weinstein-Synge.

Lemma dell'indice (focale), Teorema di comparazione di Rauch, Teorema di comparazione di Berger-Rauch e corollari.

Teorema dell'indice di Morse, punti di taglio.

Esistenza di geodetiche chiuse, Teorema di Preissmann.

Breve introduzione alla teoria dei gruppi di Lie e Geometria Riemanniana. Metriche bi-invarianti su gruppi di Lie. Azioni proprie, Fibrati, Teorema della ''fetta'', straificazione dello spazio delle orbite. Gruppi di Lie compatti, Tori massimali, gruppo di Weyl. Varietà simplettica, Teorema di Darboux, mappa momento, Teoremi di convessità.

Bibliografia

Manfredo do carmo, Riemannian Geometry, Birkauser

Cheeger-Ebin ''Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland

Chavel, Riemannian Geometry: A modern introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1984.

Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs vol. 149.

ALEXANDRINO, BETTIOL ''LIE GROUPS AND GEOMETRICAL ASPECTS OF ISOMETRIC ACTIONS, ANA CANNAS DA SILVA ''LECTURES ON SYMPLECTIC GEOEMETRY''

Metodi didattici

lezioni

Il corso ha un peso di 6 cfu, che corrisponde a 48 ore di lezioni, Le attivitò didattiche saranno lezioni frontali in aula.

Modalità verifica apprendimento

Esame orale

La verifica dell’apprendimento dei contenuti trattati nel corso sarà effettuata attarverso un esame orale.

Altre informazioni