GEOMETRIA SUPERIORE 2

Crediti: 
6
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiana

Obiettivi formativi

Familiarizzare con alcuni concetti basilari per lo studio delle varietà algebriche complesse. Saper riconoscere quali varietà complesse possono essere realizzate come sottoverietà algebriche dello spazio proiettivo.

Prerequisiti

Funzioni olomorfe di una variabile complessa. Teoria delle varietà complesse. Teoria di Hodge su varietà Kaehleriane.

Contenuti dell'insegnamento

Elementi di funzioni olomorfe in più variabili. Teoria dei fasci e coomologia. Fibrati vettoriali olomorfi e divisori. Scoppiamenti. Fibrati vettoriali Hermitiani. Connessioni, curvatura e classi di Chern. Applicazioni della coomologia.

Programma esteso

Elementi di funzioni olomorfe in più variabili (Teorema di Hartogs, Teoremi di Weierstrass, Teorema di estensione di Riemann, Nullstellensatz). Teoria dei fasci e coomologia (elementi di algebra omologica, Teorema di de Rham astratto, teoremi di de Rham e Dolbeault). Fibrati vettoriali olomorfi (fibrato canonico, formula di aggiunzione, dimensione di Kodaira) e divisori (legami con i fibrati in rette, mappa di Kodaira, divisori su curve). Scoppiamenti (fibrato canonico di uno scoppiamento). Fibrati vettoriali Hermitiani, connessioni, curvatura e classi di Chern (dualità di Serre, identità di Bianchi, connessione di Chern, fibrati positivi). Applicazioni della coomologia (Teoremi di annullamento e dell'embedding di Kodaira, Teorema di Riemann-Roch per curve, cenni sulla formula di Hirzebruch-Riemann-Roch).

Bibliografia

D. Huybrechts, COMPLEX GEOMETRY (AN INTRODUCTION), Springer 2005
J.-P. Demailly, COMPLEX ANALYTIC AND DIFFERENTIAL GEOMETRY, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf
R. Hartshorne, ALGEBRAIC GEOMETRY, Springer 1977
C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Cambridge 2002

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna.

Modalità verifica apprendimento

Esercizi assegnati durante il corso. Esame orale e seminario su argomento da concordare con il docente.