SISTEMI NUMERICI E TEORIA DI GALOIS

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Generalizzare la nozione di valore assoluto sui reali con valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee. Studiare completamenti e le loro proprietà con particolare attenzione ai campi p-adici.

Definire i gruppi di Galois di estensioni separabili e normali, applicare il Teorema fondamentale della teoria di Galois (finita o infinita) allo studio di estesioni di vario tipo (radicali, costruibili, cicliche, abeliane, ciclotomiche,...).

Prerequisiti

Un corso base di Algebra (gruppi, anelli e campi).

Durante il corso vengono richiamati (se/quando necessario) alcuni risultati fondamentali di teoria dei gruppi (Teorema di Cauchy, Teorema di Sylow, Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati,...) e algebra commutativa (elementi algebrici, estensioni di campi, localizzazione, limiti inversi,...).

Contenuti dell'insegnamento

Il corso illustrerà principalmente i seguenti argomenti:
1. Valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee, completamenti, campi p-adici Q_p .
2. Chiusura algebrica di un campo, separabilità ed inseparabilità, estensioni normali.
3. Teoria di Galois (estensioni finite ed infinite), esempi ed applicazioni.

Programma esteso

Valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee, topologie indotte dai valori assoluti ed equivalenza tra valori assoluti, valori assoluti sui razionali (Teorema di Ostrowski). Completamenti, esistenza ed unicità del completamento rispetto ad un valore assoluto, anelli di valutazione. Campi p-adici Q_p , Lemma di Hensel e applicazioni: radici quadrate e radici dell'unità in Q_p . Struttura del gruppo moltiplicativo di Q_p , estensioni quadratiche di Q_p .

Chiusura algebrica di un campo: esistenza ed unicità, immersioni di un campo nella sua chiusura algebrica, estensione delle immersioni. Separabilità ed inseparabilità, estensioni separabili. Estensioni normali, campi di spezzamento.

Gruppo di Galois di un'estensione di campi, gruppo di Galois di un polinomio come sottogruppo delle permutazioni delle radici, funzioni simmetriche ed estensione con gruppo di Galois S_n . Teorema fondamentale della teoria di Galois, esempi: campi finiti, estensioni cicliche (Teoria di Kummer ed estensioni di Artin-Schreier), estensioni ciclotomiche.

Applicazioni: costruzioni con riga e compasso, poligoni regolari costruibili (Gauss), estensioni radicali, polinomi risolubili con radicali (Teorema di Abel), Teorema fondamentale dell'algebra.

Teoria di Galois infinita: topologia di Krull, gruppi profiniti come limite inverso di gruppi finiti, gruppi di Galois di estensioni infinite, Teorema fondamentale della teoria di Gaois infinita.

Problema inverso della teoria di Galois: costruzione di estensioni abeliane.

Durante il corso vengono richiamati (se/quando necessario) alcuni risultati fondamentali di teoria dei gruppi (Teorema di Cauchy, Teorema di Sylow, Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati,...) e algebra commutativa (elementi algebrici, estensioni di campi, localizzazione, limiti inversi,...).

Bibliografia

F. Q. Gouvea "p-adic numbers" Springer Universitext

J. Neukirch "Algebraic Number Theory" Springer Grund. der Math. Wissen. 322

I. Stewart "Galois Theory" Chapman & Hall/CRC Mathematics

S. Weintraub "Galois Theory" Springer Universitext

I. N. Herstein "Algebra" Editori Riuniti

Metodi didattici

Lo strumento didattico privilegiato per lo sviluppo di tali conoscenze sono le lezioni frontali. Il prendere appunti è visto come parte del processo d'apprendimento.

Modalità verifica apprendimento

Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di conoscere e saper presentare gli argomenti del corso e di essere in grado di applicare tali strumenti allo studio di esempi concreti.