MATEMATICA NUMERICA

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI NUMERICA (MAT/08)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

L'obiettivo primario di questo corso è quello di fornire allo studente un quadro completo di cosa sia la Matematica Numerica, presentandone in modo bilanciato aspetti teorici e algoritmici, insieme alla discussione di alcune applicazioni. Esso quindi va considerato quale naturale completamento del corso di Analisi Numerica proposto nel Corso di Laurea Triennale, al superamento del quale lo studente conoscerà gran parte dei metodi numerici di base che saranno utili per poter proseguire l'approfondimento della materia e in generale per affrontare successivi corsi nei diversi ambiti della Matematica Applicata.

Prerequisiti

Analisi Numerica

Contenuti dell'insegnamento

- Approssimazione di dati e funzioni.

- Integrazione numerica.

- Algebra lineare numerica.

- Ricerca di radici di equazioni e sistemi di equazioni non lineari.

- Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali.

- Risoluzione numerica di problemi ai limiti.

Programma esteso

- Approssimazione di dati e funzioni. Interpolazione trigonometrica. Interpolazione razionale. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: caso continuo e caso discreto.
- Integrazione numerica. Polinomi ortogonali. Integrazione gaussiana su intervalli limitati e intervalli illimitati. Stime dell’errore. Integrazione in più dimensioni. Algoritmi adattivi.
- Algebra lineare numerica. Costruzione di metodi iterativi. I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel, del rilassamento e del sovrarilassamento. I metodi di Richardson. Il metodo del gradiente coniugato. GMRES e Bi_CGStab. Risultati di convergenza. Criteri di arresto.
- Approssimazione di autovalori e autovettori. Localizzazione geometrica. Stabilità e condizionamento. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse. Un metodo per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche: il metodo delle successioni di Sturm. Trasformazioni di Householder. Riduzione di una matrice in forma di Hessemberg. I metodi LR e QR.
- Ricerca di radici di equazioni non lineari. Il metodo delle iterazioni di punto fisso. Risultati di convergenza. Criteri di arresto. Il metodo di Newton e sue varianti per sistemi di equazioni non lineari.
- Risoluzione numerica di ODE. Metodi multistep per la risoluzione di problemi di Cauchy. Consistenza, stabilità e convergenza. I metodi di Adams. Metodi Predictor-Corrector.
- Problemi ai limiti. Metodo di shooting, metodi alle differenze finite, metodo di Galerkin.

Bibliografia

A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri, Matematica Numerica, SPRINGER, (2008).

G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico, McGraw-Hill, (2001)

Metodi didattici

Durante le lezioni frontali, verranno analizzati i contenuti del corso, mettendone in evidenza gli aspetti teorici congiuntamente agli aspetti algoritmici. Verranno inoltre illustrati e discussi numerosi risultati ottenuti applicando i metodi numerici presentati.

Modalità verifica apprendimento

Tramite la stesura e la discussione di una tesina, comprendente una introduzione teorica al metodo numerico scelto per l'approssimazione della soluzione cercata e la presentazione dei risultati numerici ottenuti, lo studente raggiungerà una buona autonomia nell'affrontare la risoluzione di semplici problemi modello. I risultati dell'apprendimento saranno verificati tramite esame orale, in cui lo studente illustrerà il lavoro svolto durante la preparazione della tesina ed esporrà, a richiesta, il contenuto di alcune lezioni frontali.

Altre informazioni

Durante lo svolgimento del corso, si richiede allo studente di svolgere alcuni esercizi teorici e pratici, mediante l'ausilio del calcolatore e utilizzando il linguaggio Matlab, già introdotto nel corso di Analisi Numerica della Laurea Triennale.